Integration of trigonometric function ∫ sin ⁡ ( 2 x ) sin ⁡ ( x ) − cos ⁡ ( x ) d x

Question

Integration of trigonometric function   ∫            sin      ⁡      (      2      x      )              sin      ⁡      (      x      )      −      cos      ⁡      (      x      )        d  x

pelankp · Accepted Answer

HINT:  ∫            sin      ⁡      (      2      x      )              sin      ⁡      (      x      )      −      cos      ⁡      (      x      )           d  x  =Use   sin  ⁡  (  2  x  )  =  2  sin  ⁡  (  x  )  cos  ⁡  (  x  )  2  ∫            sin      ⁡      (      x      )      cos      ⁡      (      x      )              sin      ⁡      (      x      )      −      cos      ⁡      (      x      )           d  x  =Sustitute   u  =  tan  ⁡      (          x      2        )   and   d  u  =            x              sec        2            ⁡              (                  x          2                )              2       d  x:  −  8  ∫            u      (              u        2            −      1      )              (              u        2            +      1              )        2            (              u        2            +      2      u      −      1      )           d  u

Landyn Jimenez · Accepted Answer

Let   u  =  x  −      π    4  , then                    ∫                              sin            ⁡            (            2            x            )                                sin            ⁡            (            x            )            −            cos            ⁡            (            x            )                                            d                x                            =        ∫                              sin            ⁡                          (              2              u              +                              π                2                            )                                                          2                        sin            ⁡            (            u            )                                            d                u                                          =                  1                      2                          ∫                              cos            ⁡                          (              2              u              )                                            sin            ⁡            (            u            )                                            d                u                                          =                  1                      2                          ∫                              1            −            2                          sin              2                        ⁡            (            u            )                                sin            ⁡            (            u            )                                            d                u                                          =                  1                      2                          ∫                              sin            ⁡            (            u            )                                1            −                          cos              2                        ⁡            (            u            )                                            d                u        −                  2                ∫        sin        ⁡        (        u        )                          d                u                                          =                  2                cos        ⁡        (        u        )        −                  1                      2                          2                                      ∫                  (                      1                          1              −              cos              ⁡              (              u              )                                +                      1                          1              +              cos              ⁡              (              u              )                                )                                  d                cos        ⁡        (        u        )                                          =                  2                cos        ⁡        (        u        )        +                  1                      2                          2                                      log        ⁡                  (                                    1              −              cos              ⁡              (              u              )                                      1              +              cos              ⁡              (              u              )                                )                +        C                                          =                  2                cos        ⁡        (        u        )        +                  1                      2                          log        ⁡        (        tan        ⁡        (        u                  /                2        )        )        +        C

Integration of trigonometric function ∫ sin ⁡<!-

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