How does one integrate this: 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 + y 2 2 e x + y d x d y

Question

How does one integrate this:            1              2        π                  ∫          −      ∞              +      ∞            e          −                                    x            2                    +                      y            2                          2                  e          x      +      y        d  x  d  y

Tyree Duke · Accepted Answer

1              2        π                  ∫          −      ∞              +      ∞            ∫          −      ∞              +      ∞            e          −                                    x            2                    +                      y            2                          2                  e          x      +      y        d  x  d  y  =            1              2        π                  ∫          −      ∞              +      ∞            ∫          −      ∞              +      ∞            e          −                        x          2                2                  e          −                        y          2                2                  e          x            e    y    d  x  d  y  =            1              2        π                  (          ∫              −        ∞                    +        ∞                    e              −                  x          2                          /                2        +        x              d    x    )        (          ∫              −        ∞                    +        ∞                    e              −                  y          2                          /                2        −        y              d    y    )    =      1          2      π            (          2      π      e        )        (          2      π      e        )    =  e

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