Find inverse Laplace Transform of : 1 ( s 2 + a 2 ) 2

Name: Find inverse Laplace Transform of : 1 ( s 2 + a 2 ) 2
Uploaded: 2022-02-23T17:22:57+00:00
Description: Find inverse Laplace Transform of : 1 ( s 2 + a 2 ) 2

Question

Find inverse Laplace Transform of :       1          (              s        2            +              a        2                    )        2

gasskadeu7 · Accepted Answer

As  F  (  s  )  =      ∫    0          ∞            e          −      s      t        f  (  t  )  d  twe have      d          d      s        F  (  s  )  =      d          d      s            ∫    0          ∞            e          −      s      t        f  (  t  )  d  t  =  −      ∫    0          ∞            e          −      s      t        t  f  (  t  )  d  tthen knowing that             L              −      1            (          1                        s          2                +                  a          2                      )    =      1    a    sin  ⁡  (  a  t  )  −      d          d      s            (          1                        s          2                +                  a          2                      )    =      ∫    0          ∞            e          −      s      t            t    a    sin  ⁡  (  a  t  )  d  tthen            2      s              (              s        2            +              a        2                    )        2              ⇔      t    a    sin  ⁡  (  a  t  )and      1          2      s                  2      s              (              s        2            +              a        2                    )        2              ⇔      1    2        ∫    0    t        τ    a    sin  ⁡  (  a  τ  )  d  τ  =            sin      ⁡      (      a      t      )      −      a      t      cos      ⁡      (      a      t      )              2              a        3

tophergopher3wo · Accepted Answer

1          (              s        2            +              a        2                    )        2              =      1          (      s      +      i      a              )        2            (      s      −      i      a              )        2                =  −      1          4              a        2                        [              1                  s          +          i          a                    −              1                  s          −          i          a                    ]        2      =  −      1          4              a        2                  [          1              (        s        +        i        a                  )          2                      −    2          1              (        s        +        i        a        )        (        s        −        i        a        )              +          1              (        s        −        i        a                  )          2                      ]      =  −      1          4              a        2                  [          1              (        s        +        i        a                  )          2                      −          1              i        a                    (              1                  s          −          i          a                    −              1                  s          +          i          a                    )        +          1              (        s        −        i        a                  )          2                      ]      =      1          4              a        2                  d          d      s            [          1              s        +        i        a              +          1              s        −        i        a              ]    +      1          4      i              a        3                  (          1              s        −        i        a              −          1              s        +        i        a              )      =      1          4              a        2                  d          d      s            ∫    0          ∞            e          −      (      s      +      i      a      )      t        +      e          −      (      s      −      i      a      )      t        d  t    +      1          4      i              a        3                  ∫    0          ∞            e          −      (      s      −      i      a      )      t        −      e          −      (      s      +      i      a      )      t        d  t    =      1          4              a        2                  ∫    0          ∞        −  t  (      e          −      (      s      +      i      a      )      t        +      e          −      (      s      −      i      a      )      t        )  d  t    +      1          4      i              a        3                  ∫    0          ∞            e          −      (      s      −      i      a      )      t        −      e          −      (      s      +      i      a      )      t        d  t    =      ∫    0          ∞            e          −      s      t            [          1              4                  a          2                            (      −      t              e                  −          i          a          t                    −      t              e                  i          a          t                    )        +          1              4        i                  a          3                      (          e              i        a        t              −          e              −        i        a        t              )    ]    d  t    =      ∫    0          ∞            e          −      s      t            [    −          1              2                  a          2                      t    cos    ⁡    (    a    t    )    +          1              2                  a          3                      sin    ⁡    (    a    t    )    ]    d  tSo the inverse Laplace transform is  −      1          2              a        2              t  cos  ⁡  (  a  t  )  +      1          2              a        3              sin  ⁡  (  a  t  )  .

Find inverse Laplace Transform of : (1)/((s^2+a^2)^2)

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