f ( t ) = 1 + t − 8 3 ∫ 0 t ( τ − t ) 3 f ( τ ) d τ , f ( t ) = ?

Name: f ( t ) = 1 + t − 8 3 ∫ 0 t ( τ − t ) 3 f ( τ ) d τ , f ( t ) = ?
Uploaded: 2022-02-23T17:22:57+00:00
Description: f ( t ) = 1 + t − 8 3 ∫ 0 t ( τ − t ) 3 f ( τ ) d τ , f ( t ) = ?

Question

f  (  t  )  =  1  +  t  −            8      3                  ∫              0                    t              (    τ    −    t          )      3        f    (    τ    )               d        τ        ,    f    (    t    )    =    ?

Collin Gilbert · Accepted Answer

f                    (        t        )            =      1      +      t      −                        8          3                            ∫                  0                          t                                      (          τ          −          t          )                          3                                  f                    (        τ        )                          d            τ            ,                              f          ~                            (        s        )            =              ∫                  0                          ∞                                            e                          −          s          t                                        f                    (        t        )                          d            t                                                f            ~                                    (          s          )                                    =                              1            s                          +                              1                          s                              2                                                    −                              8            3                                    ∫                      0                                ∞                                    d                t                                              e                                −            s            t                                            ∫                      0                                t                                                (            τ            −            t            )                                3                                            f                          (          τ          )                                  d                τ                            (1)                                  =                              1            s                          +                              1                          s                              2                                                    +                              8            3                                    ∫                      0                                ∞                                    d                τ                                  f                          (          τ          )                          ∫                      τ                                ∞                                                (            t            −            τ            )                                3                                                        e                                −            s            t                                                    d                t                                          =                              1            s                          +                              1                          s                              2                                                    +                              8            3                                    ∫                      0                                ∞                                    d                τ                                  f                          (          τ          )                          ∫                      0                                ∞                                    t                      3                                                        e                                −            s                          (              t              +              τ              )                                                                d                t                                          =                              1            s                          +                              1                          s                              2                                                    +                              8            3                                                                                                        ∫                                      0                                                        ∞                                                                                                        e                                                        −                    s                    τ                                                                                                    f                                                  (                  τ                  )                                                  d                                τ                            ⏞                                                                          =                                                                       f                    ~                                                                    (                  s                  )                                                                                                                                                   ∫                                      0                                                        ∞                                                                    t                                      3                                                                                                        e                                                        −                    s                    t                                                                                                    d                                t                            ⏞                                                                          =                                 3                !                                  /                                                  s                                      4                                                                                          The roots of       s          4        −  16  =  0 are given by       s          n        =  2              e                      i            n      π              /            2         with   n  =  0  ,  1  ,  2  ,  3:      s          0        =  2    ,        s          1        =  2      i      ,        s          2        =  −  2    ,        s          3        =  −  2      i          where          (          s              n                    3              +          s              n                    2              )    ≠  0    ,    n  =  0  ,  1  ,  2  ,  3With   γ  &amp;gt;  2:                                      f                          (          t          )                                    =                  ∫                      γ            −                          i                        ∞                                γ            +                          i                        ∞                                                f            ~                                    (          s          )                                              e                                s            t                                                                                              d                            s                                      2              π                              i                                                    =                  ∫                      γ            −                          i                        ∞                                γ            +                          i                        ∞                                                                              d                            s                                      2              π                              i                                                                                                                (                                  s                                      3                                                  +                                  s                                      2                                                  )                                                                            e                                                  s                  t                                                                                                  s                                  4                                            −              16                                      =                  ∑                      n            =            0                                3                                    lim                      s            →                          s                              n                                                                                                        (                s                −                                  s                                      n                                                  )                                            (                                  s                                      3                                                  +                                  s                                      2                                                  )                                                                            e                                                  s                  t                                                                                                  s                                  4                                            −              16                                                                        =                  ∑                      n            =            0                                3                                                                              (                                  s                                      n                                                        3                                                  +                                  s                                      n                                                        2                                                  )                                                                            e                                                                      s                                          n                                                        t                                                                                  4                              s                                  n                                                  3                                                                    =                              1            4                                    ∑                      n            =            0                                3                                    (          1          +                                    1                              s                                  n                                                              )                                              e                                              s                              n                                      t                                  =                              1            4                                    ∑                      n            =            0                                3                                                        e                                              s                              n                                      t                                  +                              1            4                                    ∑                      n            =            0                                3                                                                                                              e                                                                      s                                          n                                                        t                                                                                  s                              n                                                                                      =                              1            4                                    (                                              e                                      2              t                                          +                                              e                                      2                              i                            t                                          +                                              e                                      −              2              t                                          +                                              e                                      −              2                              i                            t                                          )                +                              1            4                                    (                                                                                                          e                                                        2                    t                                                                              2                                +                                                                                                          e                                                        2                                          i                                        t                                                                                              2                                  i                                                              +                                                                                                          e                                                        −                    2                    t                                                                                              −                2                                              +                                                                                                          e                                                        −                    2                                          i                                        t                                                                                              −                2                                  i                                                              )                                                  =                              1            2                                    [          cos          ⁡                      (            2            t            )                    +          cosh          ⁡                      (            2            t            )                    ]                +                              1            4                                    [          sin          ⁡                      (            2            t            )                    +          sinh          ⁡                      (            2            t            )                    ]                                              f                    (        t        )                             =                                       1          2                            [        cos        ⁡                  (          2          t          )                +        cosh        ⁡                  (          2          t          )                ]            +                        1          4                            [        sin        ⁡                  (          2          t          )                +        sinh        ⁡                  (          2          t          )                ]

How to find the inverse transform f(t)=1+t−8/3 int_0^t (tau−t)^3 f(tau) d tau, f(t)=?

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