Need to assess integral ∫ tan ⁡ x x 2 + 1 d x

Question

Need to assess integral   ∫            tan      ⁡      x                      x        2            +      1          d  x

Malaki Rodgers · Accepted Answer

The Laurent series of tan(x) is      ∑          n      =      1      ,      3      ,      5..              ∞                  8      x              (      n      π              )        2            −      4              x        2            so            tan      ⁡      (      x      )              1      +              x        2              =      ∑          n      =      1      ,      3      ,      5..              ∞                  8      x                      [        (        n        π                  )          2                −        4                  x          2                ]            (      1      +              x        2            )      use the partial fraction to get      ∑          n      =      1      ,      3      ,      5      ,      .      .              ∞                  8      x              (      (      n      π              )        2            +      4      )      (      1      +              x        2            )        +      8          (      (      n      π              )        2            +      4      )      (      n      π      −      2      x      )        −      8          (      (      n      π              )        2            +      4      )      (      n      π      +      2      x      )        ∫            tan      ⁡      x              1      +              x        2              d  x  =  C  +      ∑          n      =      1      ,      3      ,      5      ,      .      .              ∞            4          (      n      π              )        2            +      4            [    log    ⁡    (    1    +          x      2        )    −    log    ⁡    (    n    π    −    2    x    )    −    log    ⁡    (    n    π    +    2    x    )    ]  hence  ∫            tan      ⁡      x              1      +              x        2              d  x  =  C  +      ∑          n      =      1      ,      3      ,      5      ,      .      .              ∞            4          (      n      π              )        2            +      4            [    log    ⁡    (                  1        +                  x          2                            (        n        π                  )          2                −        4                  x          2                      )    ]

osheshao49 · Accepted Answer

∫            tan      ⁡      x                      x        2            +      1        d  x    =  ∫  tan  ⁡  x      ∑          n      =      0              ∞        (  −      x    2        )    n    d  x    =      ∑          n      =      0              ∞        (  −  1      )    n    ∫      x          2      n        tan  ⁡  x  d  x    =      ∑          n      =      0              ∞        (  −  1      )    n    ∫      x          2      n            ∑          k      =      1              ∞                          B                  2          k                    (      −      4              )        k            (      1      −              4        k            )              (      2      k      )      !            x          2      k      −      1        d  x    =      ∑          n      =      0              ∞            ∑          k      =      1              ∞                  (      −      1              )        n                    B                  2          k                    (      −      4              )        k            (      1      −              4        k            )              2      (      n      +      k      )      (      2      k      )      !            x          2      n      +      2      k        +  c

Need to assess integral int (tan x)/(x^2+1)dx

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