Show that: ∫ − ∞ ∞ sin ⁡ ( 2 π ( x − a ) ) π ( x − a ) sin ⁡ ( 2 π ( x − b ) ) π ( x − b ) d x = sin ⁡ 2 π ( a − b ) π ( a − b )

Question

Show that:      ∫          −      ∞              ∞                  sin      ⁡      (      2      π      (      x      −      a      )      )              π      (      x      −      a      )                  sin      ⁡      (      2      π      (      x      −      b      )      )              π      (      x      −      b      )        d  x  =            sin      ⁡      2      π      (      a      −      b      )              π      (      a      −      b      )

Holden Rosario · Accepted Answer

Let   f  (  x  )  =  2  sinc  (  2  π  x  ). Note that f is even, so      ∫          −      ∞        ∞    f  (  x  −  a  )  f  (  x  −  b  )  d  x  =      ∫          −      ∞        ∞    f  (  x  −  (  a  −  b  )  )  f  (  x  )  d  x  =      ∫          −      ∞        ∞    f  (  a  −  b  −  x  )  f  (  x  )  d  x  =  (  f  ∗  f  )  (  a  −  b  )Then, we calculate                    (        f        ∗        f        )            ^        (  ξ  )  =            f      ^        (  ξ      )    2    =      χ          [      −      1      ,      1      ]        (  ξ      )    2    =      χ          [      −      1      ,      1      ]        (  ξ  )Hence,  (  f  ∗  f  )  (  a  −  b  )  =                    χ                  [          −          1          ,          1          ]                    ^        (  a  −  b  )  =  f  (  a  −  b  )

Show that: <msubsup> ∫ <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> −<!-

Answered question

Answer & Explanation

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