Integrate : ∫ 1 x 2 2 x − x 2 d x

Question

Integrate :   ∫      1                  x                  2                            2        x        −                  x                      2                                d  x

a2g1g9x · Accepted Answer

I  =  ∫      1                  x                  2                            2        x        −                  x                      2                                d  x  I  =  ∫      1                  x                  3                                      2          x                −        1              d  xSubstitute       u    =          1      x       to get  I  =  −  ∫      u          2      u      −      1        d  u  −  2  I  =  ∫            2      u      −      1      +      1              2      u      −      1        d  u

istremage8o · Accepted Answer

If   x  &amp;lt;  0 then       2    x    −          x              2             does not make sense on       R   so I suppose that   x  &amp;gt;  0, we have                    ∫                  1                                    x                              2                                                    2              x              −                              x                                  2                                                                              d                x                            =        ∫                  1                                    x                              2                                                    1              −              (              x              −              1                              )                                  2                                                                              d                x                                                    =                      x            ↦            x            −            1                          ∫                  1                      (            x            +            1                          )                              2                                                    1              −                              x                                  2                                                                              d                x                                                    =                      x            ↦            sin            ⁡            x                          ∫                  1                      (            1            +            sin            ⁡            x                          )                              2                                                              d                x                                                    =                      x            ↦            tan            ⁡                          x              2                                      ∫                  2                      (                          x                              2                                      +            1            )                                          (                1                +                                                      2                    x                                                                              x                                              2                                                              +                    1                                                  )                                            2                                                              d                x                                          =        2        ∫                              1            +                          x                              2                                                          (            1            +            x                          )                              4                                                              d                x                                          =        2        ∫                  (                      1                          (              x              +              1                              )                                  2                                                              −                      2                          (              x              +              1                              )                                  3                                                              +                      2                          (              x              +              1                              )                                  4                                                              )                          d                x                                          =        −                  2          3                          (                                    3                              x                                  2                                            +              3              x              +              2                                      (              x              +              1                              )                                  3                                                              )                +        C                                                    =          returning                −                                            2              x              −                              x                                  2                                                      (            x            +            1            )                                3                          x                              2                                                    +        C            Details of &quot;returning&quot;:                    −                  2          3                          (                                    3                              x                                  2                                            +              3              x              +              2                                      (              x              +              1                              )                                  3                                                              )                +        C                            =                                            sec                              2                                      ⁡                          x              2                        (            −            3            sin            ⁡            x            +            cos            ⁡            x            −            5            )                                3                                          (                tan                ⁡                                  x                  2                                +                1                )                                            3                                                    +        C                                          =                              (            −            3            sin            ⁡                          sin                              −                1                                      ⁡            x            +            cos            ⁡                          sin                              −                1                                      ⁡            x            −            5            )                          sec                              2                                      ⁡                          1              2                                      sin                              −                1                                      ⁡            x            )                                3            (            tan            ⁡                          1              2                                      sin                              −                1                                      ⁡            x            +            1                          )                              3                                                    +        C                                          =                              2            (                          1              −                              x                                  2                                                      +            1                          )                              2                                      (                          1              −                              x                                  2                                                      −            3            x            −            5            )                                3            (                          1              −                              x                                  2                                                      +            x            +            1                          )                              3                                                    +        C                                          =                              2            (                          −              (              x              −              2              )              x                        +            1                          )                              2                                      (            −            3            x            +                          −              (              x              −              2              )              x                        −            2            )                                3            (            x            +                          −              (              x              −              2              )              x                                      )                              3                                                    +        C                                          =        −                                            2              x              −                              x                                  2                                                      (            x            +            1            )                                3                          x                              2                                                    +        C

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