Using partial integral to show ∫ − ∞ ∞ x 2 e x ( 1 + e x ) 2 d x = 4 ∫ 0 ∞ x e − x ( 1 + e − x ) d x

Question

Using partial integral to show       ∫          −      ∞              ∞                          x        2                    e        x                    (      1      +              e        x                    )        2              d  x  =  4      ∫          0              ∞                  x              e                  −          x                            (      1      +              e                  −          x                    )        d  x

nuvolor8 · Accepted Answer

Note                              ∫                      −            ∞                                ∞                                                              x              2                                      e              x                                            (            1            +                          e              x                                      )              2                                      d        x                            =        2                  ∫                      0                                ∞                                                              x              2                                      e                              x                                                          (            1            +                          e                              x                                                    )              2                                      d        x        =        −        2                  ∫                      0                                ∞                                    x          2                d                  (                      1                          1              +                              e                                  x                                                              )                                                  =        −                              2                          x              2                                            1            +                          e                              x                                                                                        |                                0          ∞                +        2                  ∫                      0                                ∞                                                2            x                                1            +                          e                              x                                                    d        x        =        4                  ∫                      0                                ∞                                                x                          e                              −                x                                                          1            +                          e                              −                x                                                    d        x

Yahir Tucker · Accepted Answer

First note that  4            x              e                  −          x                            1      +              e                  −          x                      =  4      x          1      +              e        x              .Now            [              2                                            x              2                                            1            +                          e              x                                          ]        ′    =  4      x          1      +              e        x              −  2                    x        2                    e        x                    (      1      +              e        x                    )        2              .Integrating both sides gives  0  =  4      ∫    0          +      ∞                  x              1        +                  e          x                      d    x    −  2      ∫    0          +      ∞                                    x          2                          e          x                            (        1        +                  e          x                          )          2                      d    x    ,that is  4      ∫    0          +      ∞                  x              1        +                  e          x                      d    x    =  2      ∫    0          +      ∞                                    x          2                          e          x                            (        1        +                  e          x                          )          2                      d    x    =      ∫          −      ∞              +      ∞                                    x          2                          e          x                            (        1        +                  e          x                          )          2                      d    x    .

Using partial integral to show <msubsup> ∫ <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"

Answered question

Answer & Explanation

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