Prove that ∫ 0 ∞ x n e − x n d x ∫ 0 ∞ e − x n d x = 1 n

Question

Prove that                     ∫                  0                ∞                    x        n                    e                  −                      x            n                              d      x                      ∫                  0                ∞                    e                  −                      x            n                              d      x        =      1    n

Johnathan Morse · Accepted Answer

It suffices to prove that      ∫    0    ∞    (      x    n    −  1      /    n  )            e              −              x        n                  d    x  =  0or      ∫    0    ∞              [      −              1        n            x                        e                          −                      x            n                              ]        ′        d    x  =  0or      ∫    0    ∞              [      −              1        n            x                        e                          −                      x            n                              ]        ′        d    x  =  0or      [    −          1      n        x                  e                    −                  x          n                      ]                      |              0    ∞    =  0which is true.

Savanah Boone · Accepted Answer

Consider      ∫    0    ∞        x    α        e          −              x        β                d  xwith   α  ≥  0  ,  β  &amp;gt;  0 . Letting   y  =      x    β   gives                              ∫          0          ∞                          x          α                          e                      −                          x              β                                              d        x        =                  1          β                          ∫          0          ∞                          y                                                    α                +                1                            β                        −            1                                    e                      −            y                                  d        y        =                  1          β                Γ                              (                                                α            +            1                    β                                      )                              Where   Γ is the Euler-Gamma function. Hence,                    ∫        0        ∞                    x        n                    e                  −                      x            n                                    d      x                      ∫        0        ∞                    e                  −                      x            n                                    d      x        =            Γ                        (                            1        n            +      1                        )                            Γ                        (                            1        n                              )                      =      1    n  for all   n  &amp;gt;  0

Prove that <msubsup> ∫ <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"

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Answer & Explanation

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