How to find d y d x given x cos ( 2 x + 3 y ) = y sin x ?

Question

How to find                               d          y                                      d          x                     given       x          cos              (        2        x        +        3        y        )              =    y          sin      x      ?

Aaliyah Padilla · Accepted Answer

We have:      x          cos              (        2        x        +        3        y        )              =    y          sin      x      Method 1 - Implicit DifferentiationApplying the chain rule and product rule, we obtain:            (      x      )              (              d                  d          x                            cos                  (          2          x          +          3          y          )                    )        +          (              d                  d          x                    x      )              (              cos                  (          2          x          +          3          y          )                    )        =          (      y      )              (              d                  d          x                            sin        x            )        +          (              d                  d          x                    y      )              (              sin        x            )            ∴    x          (              d                  d          x                            cos                  (          2          x          +          3          y          )                    )        +          cos              (        2        x        +        3        y        )              =    y          cos      x        +          sin      x                      d        y                    d        x                  ∴    x          (      -              sin                  (          2          x          +          3          y          )                            d                  d          x                            (        2        x        +        3        y        )            )        +          cos              (        2        x        +        3        y        )              =    y          cos      x        +          sin      x                      d        y                    d        x                  ∴    -    x          sin              (        2        x        +        3        y        )                    (      2      +      3                        d          y                          d          x                    )        +          cos              (        2        x        +        3        y        )              =    y          cos      x        +          sin      x                      d        y                    d        x            Now we multiply out and collect terms:      ∴    -    2    x          sin              (        2        x        +        3        y        )              -    3    x          sin              (        2        x        +        3        y        )                            d        y                    d        x              +          cos              (        2        x        +        3        y        )              =    y          cos      x        +          sin      x                      d        y                    d        x            Factoring out                     d        y                    d        x             we get:      ∴                  d        y                    d        x                    (              sin        x            +      3      x              sin                  (          2          x          +          3          y          )                    )        =          cos              (        2        x        +        3        y        )              -    2    x          sin              (        2        x        +        3        y        )              -    y          cos      x            ∴                  d        y                    d        x              =                            cos                      (            2            x            +            3            y            )                          -        2        x                  sin                      (            2            x            +            3            y            )                          -        y                  cos          x                                      sin          x                +        3        x                  sin                      (            2            x            +            3            y            )                              Method 2 - Using the Implicit Function Theorem:                    d        y                    d        x              =    -                                        ∂            f                                d            x                                                            ∂            f                                d            y                              Where:            f              (        x        ,        y        )              =    0  We have:Let:            f              (        x        ,        y        )              =    x          cos              (        2        x        +        3        y        )              -    y          sin      x      Then the partial derivatives are:                    ∂        f                    ∂        x              =          (      x      )              (                        ∂                          ∂          x                            cos                  (          2          x          +          3          y          )                    )        +          (                        ∂                          ∂          x                    x      )              (              cos                  (          2          x          +          3          y          )                    )        -    y          cos      x                                               =    x          (      -      2              sin                  (          2          x          +          3          y          )                    )        +          cos              (        2        x        +        3        y        )              -    y          cos      x                                               =    -    2    x          sin              (        2        x        +        3        y        )              +          cos              (        2        x        +        3        y        )              -    y          cos      x      And:                    ∂        f                    ∂        y              =    -    x          sin              (        2        x        +        3        y        )                    (      3      )        -          sin      x                                               =    -          (      3      x              sin                  (          2          x          +          3          y          )                    +              sin        x            )      And so:                    d        y                    d        x              =    -                  -        2        x                  sin                      (            2            x            +            3            y            )                          +                  cos                      (            2            x            +            3            y            )                          -        y                  cos          x                            -                  (          3          x                      sin                          (              2              x              +              3              y              )                                +                      sin            x                    )                                                        =                  -        2        x                  sin                      (            2            x            +            3            y            )                          +                  cos                      (            2            x            +            3            y            )                          -        y                  cos          x                            3        x                  sin                      (            2            x            +            3            y            )                          +                  sin          x

How to find (dy)/(dx) given x cos(2x+3y)=y sinx?

Answered question

Answer & Explanation

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