I am trying to show that the series ∑ n = 1 ∞ z n − 1 ( 1 − z n ) ( 1 − z n + 1 )

Question

I am trying to show that the series      ∑          n      =      1              ∞                          z                  n          −          1                                      (          1          −                      z                          n                                )                          (          1          −                      z                          n              +              1                                )

Louis Lawrence · Accepted Answer

I think you made a typo. Partial sums a given by the formula      ∑          n      =      1              m                          z                  n          −          1                            (        1        −                  z                      n                          )        (        1        −                  z                      n            +            1                          )              =                    z                  m                    −      1              (      z      −      1              )                  2                    (              z                  m          +          1                    −      1      )      If       |    z      |    &amp;lt;  1, then       lim          m      →      ∞            z    m    =  0, so      ∑          n      =      1              ∞                  z              n        −        1                    (      1      −              z                  n                    )      (      1      −              z                  n          +          1                    )        =      lim          m      →      ∞            ∑          n      =      1              m                  z              n        −        1                    (      1      −              z                  n                    )      (      1      −              z                  n          +          1                    )        =      lim          m      →      ∞                          z                  m                    −      1              (      z      −      1              )                  2                    (              z                  m          +          1                    −      1      )        =            0      −      1              (      z      −      1              )                  2                    (      0      z      −      1      )        =      1          (      z      −      1              )                  2                    If       |    z      |    &amp;gt;  1, then       lim          m      →      ∞            z          −      m        =  0, so      ∑          n      =      1              ∞                  z              n        −        1                    (      1      −              z                  n                    )      (      1      −              z                  n          +          1                    )        =      lim          m      →      ∞            ∑          n      =      1              m                  z              n        −        1                    (      1      −              z                  n                    )      (      1      −              z                  n          +          1                    )        =      lim          m      →      ∞                          z                  m                    −      1              (      z      −      1              )                  2                    (              z                  m          +          1                    −      1      )        =      lim          m      →      ∞                  1      −              z                  −          m                            (      z      −      1              )                  2                    (      z      −              z                  −          m                    )        =            1      −      0              (      z      −      1              )                  2                    (      z      −      0      )        =      1          z      (      z      −      1              )                  2

I am trying to show that the series <munderover> ∑ <mrow class="MJX-TeX

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