Compute ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ ∑ p = 1 ∞ ( − 1 ) m + n + p m + n + p

Question

Compute       ∑          m      =      1              ∞            ∑          n      =      1              ∞            ∑          p      =      1              ∞                  (      −      1              )                  m          +          n          +          p                            m      +      n      +      p

Dwayne James · Accepted Answer

This didn&#039; fit in a comment      ∑          m      =      1              ∞            ∑          n      =      1              ∞            (          ∑              p        =        1                    ∞                            (        −        1                  )                      (            m            +            n            )            +            p                                      (        m        +        n        )        +        p              ±    (    −    1          )              m        +        n                    ∑              k        =        1                    m        +        n                            (        −        1                  )                      k                              k        )      =      ∑          m      =      1              ∞            ∑          n      =      1              ∞            (    (    −    1          )              (        m        +        n        )                    ∑              p        =        1                    ∞                            (        −        1                  )                      p                                      (        m        +        n        )        +        p              ±    (    −    1          )              m        +        n                    ∑              k        =        1                    m        +        n                            (        −        1                  )                      k                              k        )      =      ∑          m      =      1              ∞            ∑          n      =      1              ∞            (          (      −      1              )                  (          m          +          n          )                            ∑                  p          =          1                          ∞                                      (          −          1                      )                          p                                                (          m          +          n          )          +          p                    +      (      −      1              )                  m          +          n                            ∑                  k          =          1                          m          +          n                                      (          −          1                      )                          k                                      k              −    (    −    1          )              m        +        n                    ∑              k        =        1                    m        +        n                            (        −        1                  )                      k                              k        )      =      ∑          m      =      1              ∞            ∑          n      =      1              ∞            (          (      −      1              )                  (          m          +          n          )                            ∑                  p          =          1                          ∞                                      (          −          1                      )                          p                                      p              −    (    −    1          )              m        +        n                    ∑              k        =        1                    m        +        n                            (        −        1                  )                      k                              k        )      =      ∑          m      =      1              ∞            ∑          n      =      1              ∞            (    −    1          )              (        m        +        n        )              log    ⁡    (    2    )    −      Φ          Lerch        (  −  1  ,  1  ,  1  +  n  +  m  )  +  (  −  1      )          m      +      n        log  ⁡  (  2  )    =                                          ∑                          m              =              1                                      ∞                                            ∑                          n              =              1                                      ∞                                (          −          1                      )                          (              m              +              n              )                                2          log          ⁡          (          2          )                ⏟                    =      0      ?        −      ∑          m      =      1              ∞            ∑          n      =      1              ∞            Φ          Lerch        (  −  1  ,  1  ,  1  +  n  +  m  )    =  −      ∑          m      =      1              ∞            ∑          n      =      1              ∞            Φ          Lerch        (  −  1  ,  1  ,  1  +  n  +  m  )    ,and this is where I give up for now. W|A can do some examples, that make me believe, that this doesn&#039;t converge

Compute <munderover> ∑ <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> m =

Answered question

Answer & Explanation

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