Why is lim n → ∞ ( n − 1 n + 1 ) 2 n + 4 = 1 e 4

Question

Why is       lim          n      →      ∞                  (                        n          −          1                          n          +          1                    )              2      n      +      4        =      1          e      4

Gilbert Petty · Accepted Answer

If you already know that      lim          n      →      ∞                  (      1      +              x                  f          (          n          )                    )              f      (      n      )        =      e    x      ,      ∀    x  ∈      R  and for any function f s.t.     f  (  n  )      →          n      →      ∞            ∞   , then            (                        n          −          1                          n          +          1                    )              2      n      +      4        =            [                        (          1          −                      2                          n              +              1                                )                          n          +          1                    ]        2              (      1      −              2                  n          +          1                    )        2        →          n      →      ∞            (      e          −      2            )    2    ⋅      1    2    =      e          −      4

Alfredo Cooley · Accepted Answer

Another way to solve:      lim          n      →      ∞                  (                        n          −          1                          n          +          1                    )              2      n      +      4        =      lim          n      →      ∞                  (                        (          1          +                                    (              −              2              )                                      n              +              1                                )                                                    n              +              1                                      −              2                                          )                                −          2          (          2          n          +          1          )                          n          +          1                      =            (              lim                  n          →          ∞                                      (          1          +                                    (              −              2              )                                      n              +              1                                )                                                    n              +              1                                      −              2                                          )                      lim                  n          →          ∞                            (                              −            4            −                          2              n                                            1            +                          1              n                                      )              =  (  e      )          −      4         as   n  →  ∞  ,            n      +      1              −      2        →  −  ∞   and       lim          m      →      ∞                  (      1      +              1        m            )        m    =  e

Why is lim_(n->infty) ((n-1)/(n+1))^(2n+4)=1/e^4

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Calculus 2