x y ≥ a 1 b 1 ≥ a 2 b 2 and b 1 ≤ b 2 ⟹ x + a 1 y + b 1 ≥ x + a 2 y + b 2

Question

x    y    ≥            a      1              b      1        ≥            a      2              b      2       and       b    1    ≤      b    2      ⟹              x      +              a        1                    y      +              b        1              ≥            x      +              a        2                    y      +              b        2

trantegisis · Accepted Answer

We show             x      +              a        1                    y      +              b        1              −            x      +              a        2                    y      +              b        2              ≥  0                                                x            +                          a              1                                            y            +                          b              1                                      −                              x            +                          a              2                                            y            +                          b              2                                      =                              x            (                          b              2                        −                          b              1                        )            +            y            (                          a              1                        −                          a              2                        )            +                          a              1                                      b              2                        −                          a              2                                      b              1                                            (            y            +                          b              1                        )            (            y            +                          b              2                        )                                                            ≥                              x            (                          b              2                        −                          b              1                        )            +            y            (                          a              1                        −                          a              2                        )                                (            y            +                          b              1                        )            (            y            +                          b              2                        )                              We complete the proof showing   x  (      b    2    −      b    1    )  ≥  −  y  (      a    1    −      a    2    )                              x          y                +                                            a              1                        −                          a              2                                                          b              2                        −                          b              1                                      ≥                              a            1                                b            1                          +                                            a              1                        −                          a              2                                                          b              2                        −                          b              1                                      =                                            a              1                                      b              2                        −                          a              2                                      b              1                                                          b              1                        (                          b              2                        −                          b              1                        )                          ≥        0

x y </mfrac> ≥ a 1 </msub>

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Pre-Algebra