Let ( x , y , z ) ∈ R , prove that ( 2 x − y x − y ) 2 + ( 2 y − z y − z ) 2 + ( 2 z − x z − x ) 2 ⩾ 5

Question

Let   (  x  ,  y  ,  z  )  ∈      R  , prove that             (                  2      x      −      y              x      −      y                          )              2    +            (                  2      y      −      z              y      −      z                          )              2    +            (                  2      z      −      x              z      −      x                          )              2    ⩾  5

smh3402en · Accepted Answer

Start with                    (        2                  y          2                z        +        2                  z          2                x        +        2                  x          2                y        −        y                  z          2                −        z                  x          2                −        x                  y          2                −        3        x        y        z                  )          2                ≥        0            This can be expanded out to give                    4                  ∑                      c            y            c                                    y          2                          z          4                −        4                  ∑                      c            y            c                                    y          3                          z          3                +                  ∑                      c            y            c                                    y          4                          z          2                −        4                  ∑                      c            y            c                          x        y                  z          4                +                            14                  ∑                      c            y            c                          x                  y          2                          z          3                −        10                  ∑                      c            y            c                          x                  y          3                          z          2                −        3                  x          2                          y          2                          z          2                ≥        0            This can be rearranged to                    (        2        x        −        y                  )          2                (        y        −        z                  )          2                (        z        −        x                  )          2                +        (        x        −        y                  )          2                (        2        y        −        z                  )          2                (        z        −        x                  )          2                +        (        x        −        y                  )          2                (        y        −        z                  )          2                (        2        z        −        x                  )          2                ≥        5        (        x        −        y                  )          2                (        y        −        z                  )          2                (        z        −        x                  )          2                    Now divide by   (  x  −  y      )    2    (  y  −  z      )    2    (  z  −  x      )    2   and we have                                          (            2            x            −            y                          )              2                                            (            x            −            y                          )              2                                      +                              (            2            y            −            z                          )              2                                            (            y            −            z                          )              2                                      +                              (            2            z            −            x                          )              2                                            (            z            −            x                          )              2                                      ≥        5.

flatantsmu · Accepted Answer

This is a special case of the following inequality:      ∑          a      ,      b      ,      c                  (                          m        a        −        n        b                    a        −        b                                )              2    ≥      m    2    +      n    2    ,where   m  ,  n  ∈      R   and   a  ,  b  ,  c are distinct reals.The proof is simply completing the square: start by writing                    m        a        −        n        b                    a        −        b              =  m  +  (  m  −  n  )            b              a        −        b            and                    m        c        −        n        a                    c        −        a              =  n  +  (  m  −  n  )            c              c        −        a            and leave the middle term untouched first.Let me know if still need further assistance.EDIT: Completing the hint:      ∑          a      ,      b      ,      c                  (                          m        a        −        n        b                    a        −        b                                )              2    −      m    2    −      n    2    =            (                          m        b        −        n        c                    b        −        c                                )              2    +  (  m  −  n      )    2              (                          b        2                    (        a        −        b                  )          2                      +                    c        2                    (        c        −        a                  )          2                                )        +  2  (  m  −  n  )            (                          m        b                    a        −        b              +                    n        c                    c        −        a                        )        =  =            (                          m        b        −        n        c                    b        −        c                                )              2    +  (  m  −  n      )    2              (                          b        2                    (        a        −        b                  )          2                      +                    c        2                    (        c        −        a                  )          2                                )        +  2  (  m  −  n  )                    b        c        (        m        −        n        )        −        a        (        m        b        −        n        c        )                    (        a        −        b        )        (        c        −        a        )              =  =            (                          m        b        −        n        c                    b        −        c                                )              2    +  (  m  −  n      )    2              (                          b        2                    (        a        −        b                  )          2                      +                    c        2                    (        c        −        a                  )          2                      +                    2        b        c                    (        a        −        b        )        (        c        −        a        )                        )        −                    2        a        (        m        b        −        n        c        )        (        m        −        n        )                    (        a        −        b        )        (        c        −        a        )              =  =            (                          m        b        −        n        c                    b        −        c                                )              2    +  (  m  −  n      )    2              (                  b              a        −        b              +            c              c        −        a                                )              2    −                    2        a        (        m        −        n        )        (        m        b        −        n        c        )                    (        a        −        b        )        (        c        −        a        )              =            (                          m        b        −        n        c                    b        −        c                                )              2    +  (  m  −  n      )    2              (                          a        (        c        −        b        )                    (        a        −        b        )        (        c        −        a        )                                )              2    −                    2        a        (        m        −        n        )        (        m        b        −        n        c        )                    (        a        −        b        )        (        c        −        a        )              =  =            (                          m        b        −        n        c                    b        −        c              −                    a        (        m        −        n        )        (        c        −        b        )                    (        a        −        b        )        (        c        −        a        )                                )              2    ≥  0.

Let (x,y,z) in R, prove that ((2x-y)/(x-y))^2+((2y-z)/(y-z))^2 +((2z-x)/(z-x))^2 >= 5

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