Proving ∫ 0 ∞ log ⁡ ( 1 − 2 cos ⁡ 2 θ x 2 + 1 x 4 ) d x = 2 π sin ⁡ θ

Question

Proving       ∫    0    ∞    log  ⁡      (    1    −    2                  cos        ⁡        2        θ                    x        2              +          1              x        4              )    d  x  =  2  π  sin  ⁡  θ

Diego Mathews · Accepted Answer

We start off by some   x  →      1    x   substitutions while derivating under the integral sign:  I  (  θ  )  =      ∫    0    ∞    log  ⁡      (    1    −    2                  cos        ⁡        2        θ                    x        2              +          1              x        4              )    d  x      =          x      →              1        x                  ∫    0    ∞              ln      ⁡      (      1      −      2      cos      ⁡      (      2      θ      )              x        2            +              x        4            )              x      2        d  x      I    ′    (  θ  )  =  4      ∫    0    ∞              sin      ⁡      (      2      θ      )                      x        4            −      2      cos      ⁡      (      2      θ      )              x        2            +      1        d  x      =          x      →              1        x              4      ∫    0    ∞              sin      ⁡      (      2      θ      )              x        2                            x        4            −      2      cos      ⁡      (      2      θ      )              x        2            +      1        d  xNow summing up the two integrals from above gives us:  ⇒  2      I    ′    (  θ  )  =  4      ∫    0    ∞              sin      ⁡      (      2      θ      )      (      1      +              x        2            )                      x        4            −      2      cos      ⁡      (      2      θ      )              x        2            +      1        d  x  =  4      ∫    0    ∞              sin      ⁡      (      2      θ      )              (                  1                      x            2                          +        1        )                            x        2            +              1                  x          2                    −      2      cos      ⁡      (      2      θ      )        d  x  ⇒      I    ′    (  θ  )  =  2      ∫    0    ∞              sin      ⁡      (      2      θ      )                        (          x          −                      1            x                    )                ′                                      (          x          −                      1            x                    )                2            +      2      (      1      −      cos      ⁡      (      2      θ      )      )        d  x      =          x      −              1        x            =      t        2      ∫          −      ∞        ∞              sin      ⁡      (      2      θ      )                      t        2            +      4              sin        2            ⁡      (      θ      )        d  t  =  2            sin      ⁡      (      2      θ      )              2      sin      ⁡      (      θ      )        arctan  ⁡      (          t              2        sin        ⁡        (        θ        )              )                      |                    −      ∞        ∞    =  2  cos  ⁡  (  θ  )  ⋅  π  ⇒  I  (  θ  )  =  2  π  ∫  cos  ⁡  (  θ  )  d  θ  =  2  π  sin  ⁡  θ  +  CBut I(0)=0 (see J.G. answer), thus:  I  (  0  )  =  0  +  C  ⇒  C  =  0  ⇒                              I          (          θ          )          =          2          π          sin          ⁡          (          θ          )

Proving <msubsup> ∫ 0 <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --

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