Prove that ∫ 0 1 1 1 + ln 2 ⁡ x d x = ∫ 1 ∞ sin ⁡ ( x − 1 ) x d x

Question

Prove that       ∫    0    1        1          1      +              ln        2            ⁡      x          d  x  =      ∫    1    ∞              sin      ⁡      (      x      −      1      )        x      d  x

sleuteleni7 · Accepted Answer

Hint. One may observe that      1          1      +              ln        2            ⁡      x        =  −  ℑ      1          i      −      ln      ⁡      x        =  −  ℑ      ∫    0          ∞            e          −      (      i      −      ln      ⁡      x      )      t        d  t  ,    x  ∈  (  0  ,  1  )  ,gives                              ∫          0          1                          1                      1            +                          ln              2                        ⁡            x                                  d        x                            =        −        ℑ                  ∫          0          1                                          ∫          0                      ∞                                    e                      −            (            i            −            ln            ⁡            x            )            t                          d        t                d        x                                                        =        −        ℑ                  ∫          0                      ∞                                                    (                      ∫            0            1                                x            t                    d          x          )                          e                      −            i            t                          d        t                                                        =        −        ℑ                  ∫          0                      ∞                                                    1                      t            +            1                                    e                      −            i            t                          d        t                                                        =                  ∫          0                      ∞                                                                sin            ⁡            t                                t            +            1                          d        t                                                        =                  ∫          1          ∞                                      sin            ⁡            (            x            −            1            )                    x                        d        x            as announced.

Lucille Cummings · Accepted Answer

Define   I  (  a  )  =      ∫    0          ∞            e          −      (      x      +      1      )      a                  sin      ⁡      (      x      )              x      +      1        d  x. Then             I      ′        (    a    )    =    −          ∫      0              ∞                    e              −        (        x        +        1        )        a              sin    ⁡    (    x    )    d    x    =    −                  e                  −          a                                      a          2                +        1            , and since       lim          a      →      ∞        I  (  a  )  =  0, we have           I    (    0    )    =          ∫      0              ∞                            sin        ⁡        (        x        )                    x        +        1              =          ∫      0              ∞                            e                  −          a                                      a          2                +        1              d    a    =          ∫      0      1                      d        x                    1        +                  ln          2                ⁡        x              .

Prove that <msubsup> ∫ 0 1 </msubsup> 1

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Precalculus