Given tan ⁡ β = n sin ⁡ α cos ⁡ α 1 − n sin 2 ⁡ α , show that tan ⁡ ( α − β ) = ( 1 − n ) tan ⁡ α

Question

Given   tan  ⁡  β  =            n      sin      ⁡      α      cos      ⁡      α              1      −      n              sin        2            ⁡      α      , show that   tan  ⁡  (  α  −  β  )  =  (  1  −  n  )  tan  ⁡  α

kawiarkahh · Accepted Answer

As we need to eliminate   β  ,, write   tan  ⁡  β  =  tan  ⁡  {  α  −  (  α  −  β  )  } and expand.For the RHS,            n      sin      ⁡      α      cos      ⁡      α              1      −      n              sin        2            ⁡      α        =                                          n            sin            ⁡            α            cos            ⁡            α                                              cos              2                        ⁡            α                                                            1            −            n                          sin              2                        ⁡            α                                              cos              2                        ⁡            α                                =                    n                  tan          2                ⁡        α                    1        +        (        1        −        n        )                  tan          2                ⁡        α

Kaeden Hoffman · Accepted Answer

With  tan  ⁡  β  =            n      sin      ⁡      α      cos      ⁡      α              1      −      n              sin        2            ⁡      α      we write  n  =            tan      ⁡      β              sin      ⁡      α      cos      ⁡      α      +      tan      ⁡      β              sin        2            ⁡      α      so                              1          −          n                                    =                                          sin            ⁡            α            cos            ⁡            α            +            tan            ⁡            β                          sin              2                        ⁡            α            −            tan            ⁡            β                                sin            ⁡            α            cos            ⁡            α            +            tan            ⁡            β                          sin              2                        ⁡            α                                                            =                                          sin            ⁡            α            cos            ⁡            α            −                          cos              2                        ⁡            α            tan            ⁡            β                                sin            ⁡            α            cos            ⁡            α            +            tan            ⁡            β                          sin              2                        ⁡            α                                                            =                                          tan            ⁡            α            −            tan            ⁡            β                                tan            ⁡            α            +            tan            ⁡            β                          tan              2                        ⁡            α                                                            =                                          1                          tan              ⁡              α                                tan          ⁡          (          α          −          β          )

Given tan ⁡ β = n sin ⁡<

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Precalculus