Prove: 1 + ( tan ⁡ x sin ⁡ y ) 2 1 + ( tan ⁡ x sin ⁡ z ) 2 = 1 + ( sin ⁡ x tan ⁡ y ) 2 1 + ( sin ⁡ x tan ⁡ z ) 2

Question

Prove:            1      +                        (                                    tan              ⁡              x                                      sin              ⁡              y                                )                2                    1      +                        (                                    tan              ⁡              x                                      sin              ⁡              z                                )                2              =            1      +                        (                                    sin              ⁡              x                                      tan              ⁡              y                                )                2                    1      +                        (                                    sin              ⁡              x                                      tan              ⁡              z                                )                2

Zichetti4b · Accepted Answer

Notice, the given equality can be easily proved by simplifying LHS  L  H  S  =            1      +                        (                                    tan              ⁡              x                                      sin              ⁡              y                                )                2                    1      +                        (                                    tan              ⁡              x                                      sin              ⁡              z                                )                2              =            1      +                        (                                    sin              ⁡              x                                      sin              ⁡              y              cos              ⁡              x                                )                2                    1      +                        (                                    sin              ⁡              x                                      sin              ⁡              z              cos              ⁡              x                                )                2              =                    sin        2            ⁡      z      (              sin        2            ⁡      y              cos        2            ⁡      x      +              sin        2            ⁡      x      )                      sin        2            ⁡      y      (              sin        2            ⁡      z              cos        2            ⁡      x      +              sin        2            ⁡      x      )        =                    sin        2            ⁡      z      (      (      1      −              cos        2            ⁡      y      )      (      1      −              sin        2            ⁡      x      )      +              sin        2            ⁡      x      )                      sin        2            ⁡      y      (      (      1      −              cos        2            ⁡      z      )      (      1      −              sin        2            ⁡      x      )      +              sin        2            ⁡      x      )        =                    sin        2            ⁡      z      (      1      −              cos        2            ⁡      y      −              sin        2            ⁡      x      +              sin        2            ⁡      x              cos        2            ⁡      y      +              sin        2            ⁡      x      )                      sin        2            ⁡      y      (      1      −              cos        2            ⁡      z      −              sin        2            ⁡      x      +              sin        2            ⁡      x              cos        2            ⁡      z      +              sin        2            ⁡      x      )        =                    sin        2            ⁡      z      (      (      1      −              cos        2            ⁡      y      )      +              sin        2            ⁡      x              cos        2            ⁡      y      )                      sin        2            ⁡      y      (      (      1      −              cos        2            ⁡      z      )      +              sin        2            ⁡      x              cos        2            ⁡      z      )        =                    sin        2            ⁡      z      (              sin        2            ⁡      y      +              sin        2            ⁡      x              cos        2            ⁡      y      )                      sin        2            ⁡      y      (              sin        2            ⁡      z      +              sin        2            ⁡      x              cos        2            ⁡      z      )        =                    sin        2            ⁡      z              sin        2            ⁡      y              (        1        +                                            sin              2                        ⁡            x                          cos              2                        ⁡            y                                              sin              2                        ⁡            y                          )                            sin        2            ⁡      y              sin        2            ⁡      z              (        1        +                                            sin              2                        ⁡            x                          cos              2                        ⁡            z                                              sin              2                        ⁡            z                          )              =            1      +                                    sin            2                    ⁡          x                                      tan            2                    ⁡          y                            1      +                                    sin            2                    ⁡          x                                      tan            2                    ⁡          z                      =            1      +                        (                                    sin              ⁡              x                                      tan              ⁡              y                                )                2                    1      +                        (                                    sin              ⁡              x                                      tan              ⁡              z                                )                2              =  R  H  S

Montenovofe · Accepted Answer

1      +                        (                                                    tan                ⁡                x                                            sin                ⁡                y                                              )                2                    1      +                        (                                                    tan                ⁡                x                                            sin                ⁡                z                                              )                2              =            1      +                        (                                                    sin                ⁡                x                                            tan                ⁡                y                                              )                2                    1      +                        (                                                    sin                ⁡                x                                            tan                ⁡                z                                              )                2                ⟺              1      +                        (                                                    tan                ⁡                x                                            sin                ⁡                y                                              )                2                    1      +                        (                                                    sin                ⁡                x                                            tan                ⁡                y                                              )                2              =            1      +                        (                                                    tan                ⁡                x                                            sin                ⁡                z                                              )                2                    1      +                        (                                                    sin                ⁡                x                                            tan                ⁡                z                                              )                2            So, if we can prove that                     1        +                              (                                                            tan                  ⁡                  x                                                  sin                  ⁡                  A                                                      )                    2                            1        +                              (                                                            sin                  ⁡                  x                                                  tan                  ⁡                  A                                                      )                    2                     is independent of A, we are done.Method #1:                    1        +                              (                                                            tan                  ⁡                  x                                                  sin                  ⁡                  A                                                      )                    2                            1        +                              (                                                            sin                  ⁡                  x                                                  tan                  ⁡                  A                                                      )                    2                      =                    1        +                  tan          2                ⁡        x                  csc          2                ⁡        A                    1        +                  sin          2                ⁡        x                  cot          2                ⁡        A               =                              cos          2                ⁡        A        +                  sin          2                ⁡        x        (        1        +                  cot          2                ⁡        A        )                              cos          2                ⁡        x        (        1        +                  sin          2                ⁡        x                  cot          2                ⁡        A        )              =      sec    2    ⁡  x which is clearly independent of AMethod #2:                    1        +                              (                                                            tan                  ⁡                  x                                                  sin                  ⁡                  A                                                      )                    2                            1        +                              (                                                            sin                  ⁡                  x                                                  tan                  ⁡                  A                                                      )                    2                      =                    (                  sin          2                ⁡        A                  cos          2                ⁡        x        +                  sin          2                ⁡        x        )                  sin          2                ⁡        A                              sin          2                ⁡        A                  cos          2                ⁡        x        (                  sin          2                ⁡        A        +                  cos          2                ⁡        A                  sin          2                ⁡        x        )              =      sec    2    ⁡  x as       sin    2    ⁡  A      cos    2    ⁡  x  +      sin    2    ⁡  x  =      sin    2    ⁡  A  (  1  −      sin    2    ⁡  x  )  +      sin    2    ⁡  x  =      sin    2    ⁡  A  +      sin    2    ⁡  x  (  1  −      sin    2    ⁡  A  )  =  ?

Prove: 1 + (

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Precalculus