Let z ∈ R n , r &gt; 0, and ϵ ∈ ( 0 , 2 ]. Prove that if x , y ∈ B ¯ ( z , r ) such that ‖ x − y ‖ ≥ ϵ r , then ‖ z − x + y 2 ‖ ≤ r 1 − ϵ 2 4 . So far I have: ‖ z − x + y 2 ‖ = ⟨ z − x + y 2 , z − x + y 2 ⟩ Then ⟨ z − x + y 2 , z − x + y 2 ⟩ = ⟨ z − x , z − x + y 2 ⟩ + ⟨ x − y 2 , z − x + y 2 ⟩ = ⟨ z − x , z − y ⟩ + ⟨ z − x , y − x 2 ⟩ + ⟨ x − y 2 , y − x 2 ⟩ + ⟨ x − y 2 , z − y ⟩ = ⟨ z − x , z − y ⟩ + ⟨ x − y 2 , x − y ⟩ − 1 / 4 ‖ x − y ‖ 2 = ⟨ z − x , z − y ⟩ + 1 / 2 ‖ x − y ‖ 2 − 1 / 4 ‖ x − y ‖ 2 ≤ ‖ z − x ‖ ‖ z − y ‖ − ( ϵ r ) 2 4 + 1 / 2 ‖ x − y ‖ 2 ≤ r 2 − ( ϵ r ) 2 4 + 1 / 2 ‖ x − y ‖ 2 = r 2 ( 1 − ϵ 2 4 ) + 1 / 2 ‖ x − y ‖ 2 I think I'm on the right track but I keep getting the 1 / 2 ‖ x − y ‖ 2 and I don't know what to do.

Question

Let   z  ∈            R        n    ,  r  &amp;gt;  0, and   ϵ  ∈  (  0  ,  2  ]. Prove that if   x  ,  y  ∈      B    ¯    (  z  ,  r  ) such that   ‖  x  −  y  ‖  ≥  ϵ  r  , then   ‖  z  −            x      +      y        2    ‖  ≤  r      1    −                  ϵ        2            4      . So far I have:  ‖  z  −            x      +      y        2    ‖  =      ⟨    z    −                  x        +        y            2        ,    z    −                  x        +        y            2        ⟩  Then  ⟨  z  −            x      +      y        2    ,  z  −            x      +      y        2    ⟩  =  ⟨  z  −  x  ,  z  −            x      +      y        2    ⟩  +  ⟨            x      −      y        2    ,  z  −            x      +      y        2    ⟩  =  ⟨  z  −  x  ,  z  −  y  ⟩  +  ⟨  z  −  x  ,            y      −      x        2    ⟩  +  ⟨            x      −      y        2    ,            y      −      x        2    ⟩  +  ⟨            x      −      y        2    ,  z  −  y  ⟩  =  ⟨  z  −  x  ,  z  −  y  ⟩  +  ⟨            x      −      y        2    ,  x  −  y  ⟩  −  1      /    4  ‖  x  −  y      ‖    2    =  ⟨  z  −  x  ,  z  −  y  ⟩  +  1      /    2  ‖  x  −  y      ‖    2    −  1      /    4  ‖  x  −  y      ‖    2    ≤  ‖  z  −  x  ‖  ‖  z  −  y  ‖  −            (      ϵ      r              )        2              4    +  1      /    2  ‖  x  −  y      ‖    2    ≤      r    2    −            (      ϵ      r              )        2              4    +  1      /    2  ‖  x  −  y      ‖    2    =      r    2    (  1  −            ϵ      2        4    )  +  1      /    2  ‖  x  −  y      ‖    2  I think I&#039;m on the right track but I keep getting the   1      /    2  ‖  x  −  y      ‖    2   and I don&#039;t know what to do.

luluna81mxmbk · Accepted Answer

By translating by z you can assume   z  =            0      →       for simplicity. Then,  ‖  x  +  y      ‖    2    +  ‖  x  −  y      ‖    2    =  2  ‖  x      ‖    2    +  2  ‖  y      ‖    2    ≤  4      r    2      ⟹    ‖  x  +  y      ‖    2    ≤  4      r    2    −      ϵ    2        r    2  and you are done.

Let z in RR^n,r>0, and epsilon in (0,2]. Prove that if x,y in bar(B) (z,r) such that norm(x−y) >= epsilon r, then norm(z−(x+y)/(2)) <= r sqrt(1−(epsilon^2)/(4))

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Precalculus