System of nonlinear differential equations y ˙ 1 = 2 − y 1 y 2 − y 2 2 y ˙ 2 = 2 − y 1 2 − y 1 y 2 i) Calculate the equilibrium points en determine their stability.ii) Draw the Phase Plot.

Question

System of nonlinear differential equations              y      ˙        1    =  2  −      y    1        y    2    −      y    2    2                y      ˙        2    =  2  −      y    1    2    −      y    1        y    2  i) Calculate the equilibrium points en determine their stability.ii) Draw the Phase Plot.

Haleigh Vega · Accepted Answer

Critical Points:  2  −      y    1        y    2    −      y    2    2    =  0  ,  2  −      y    1    2    −      y    1        y    2    =  0    ⟹    (      y    1    ,      y    2    )  =  (  −  1  ,  −  1  )  ,  (  1  ,  1  )Jacobian:  J  (      y    1    ,      y    2    )  =      [                            −                      y            2                                    −          2                      y            1                    −                      y            2                                                −                      y            1                    −          2                      y            2                                    −                      y            1                                ]  Jacobian&#039;s eigenvalues at each critical point:  J  (  −  1  ,  −  1  )  =      [                            1                          3                                      3                          1                      ]  The eigenvalues are       λ    1    =  −  2  ,      λ    2    =  4, which is a saddle point.  J  (  1  ,  1  )  =      [                            −          1                          −          3                                      −          3                          −          1                      ]  The eigenvalues are       λ    1    =  −  4  ,      λ    2    =  2, which is a saddle point.

prensistath · Accepted Answer

{                                                                              y                ˙                                        1                                            =                                2            −                          y                          1                                      y                          2                        −                          y                          2                          2                                                                                                      y                ˙                                        2                                            =                                2            −                          y                          1                          2                        −                          y                          1                                      y                          2                                                              y      ˙          1    +              y      ˙          2    =  4  −            (                    y              1            +              y              2                  )          2      ⟹                      y              1            +              y              2            =      2                                                                  e                          4              t                                          −          A                                                          e                          4              t                                          +          A                        ,    A         is a constant                y      ˙          1    −              y      ˙          2    =      (              y          1        −          y          2            )        (              y          1        +          y          2            )    =      (              y          1        −          y          2            )        (        2                                                  e                      4            t                                  −        A                                              e                      4            t                                  +        A                  )    ln  ⁡      (              y          1        −          y          2            )    =  2      [        −    t    +            1      2            ln    ⁡          (            A      +                          e                  4          t                                )            ]    +      a constant                      y              1            −              y              2            =      B                          e                  −          2          t                                  (                A        +                                  e                      4            t                                          )                ,    B         is a constant

System of nonlinear differential equations <mover> y ˙

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Algebra I