Evaluate. d y / d x − x y 2 = 0 x ( d y / d x ) + y 2 + y = 0

Question

Evaluate.  d  y      /    d  x  −  x      y          2        =  0  x  (  d  y      /    d  x  )  +      y          2        +  y  =  0

Malcolm Good · Accepted Answer

d  y      /    d  x  −  x      y          2        =  0  ⇒  d  y      /    d  x  =  x      y          2        ⇒  d  y      /        y          2        =  x  d  x  ∫      1          y              2              d  y  =  ∫  x  d  x  −      1    y    =      1    2        x          2        +  Cfor  x  (  d  y      /    d  x  )  +      y          2        +  y  =  0  ⇒  x  d  y      /    d  x  =  −  y  (  y  +  1  )  ⇒  d  y      /    [  y  (  y  +  1  )  ]  =  −  d  x      /    x  ∫      1          y      (      y      +      1      )        d  y  =  −  ∫      1    x    d  x  ∫  [      1    y    −      1          y      +      1        ]  d  y  =  −  ∫      1    x    d  x  ln  ⁡  y  −  ln  ⁡  (  y  +  1  )  =  −  ln  ⁡  x  +  C  ln  ⁡      y          y      +      1        =  ln  ⁡  (      1    x    )  +  C  ⇒      y          y      +      1        =      e          ln      ⁡      (              1        x            )      +      C        =  D      1    x

Jenny Stafford · Accepted Answer

a)  d  y      /    d  x  −  x      y          2        =  0  d  y      /    d  x  =  x      y          2        d  y      /        y          2        =  x  d  x  ∫      1          y              2              d  y  =  ∫  x  d  x  −  1      /    y  =      x          2            /    2  +  c  y  =            −      2                      x                  2                    +      c      b)x(dy/dx) + y(y+1) = 0xdy/dx = -y(y+1)  ∫      1          y      (      y      +      1      )        d  y  =  −  ∫      1    x    d  xuse partial fractions:1/y(y+1) = A/y + B/(y+1)A(y+1) + By = 1(A+B)y + A = 1  ∴  A  =  1  ,  B  =  −  1  ∫      1    y    −      1          y      +      1        d  y  =  −  ∫      1    x    d  x  ln  ⁡  (      y          y      +      1        )  =  c  −  ln  ⁡  (  x  )      y          y      +      1        =      e          c      −      ln      ⁡      (      x      )        =      A    x        1          1      +              1        y              =  A      x          −      1            x    A    −  1  =      1    y    ∴  y  =      1          B      x      −      1

Evaluate. dy/dx-xy^2=0 x(dy/dx)+y^2+y=0

Answered question

Answer & Explanation

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