Evaluate lim x → 0 tan ⁡ ( tan ⁡ x ) − sin ⁡ ( sin ⁡ x ) tan ⁡ x − sin ⁡ x

Question

Evaluate       lim          x      →      0                  tan      ⁡      (      tan      ⁡      x      )      −      sin      ⁡      (      sin      ⁡      x      )              tan      ⁡      x      −      sin      ⁡      x

sniokd · Accepted Answer

lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            tan            ⁡            x            )            −            sin            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                tan            ⁡            x            −            sin            ⁡            x                                              =                  lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            tan            ⁡            x            )            −            tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            cos            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                tan            ⁡            x            −            sin            ⁡            x                                                            =                  lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            tan            ⁡            x            )            −            tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            +            tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            −            tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            cos            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                tan            ⁡            x            −            sin            ⁡            x                                                            =                  lim                      x            →            0                                    (                                    tan              ⁡              (              tan              ⁡              x              )              −              tan              ⁡              (              sin              ⁡              x              )                                      tan              ⁡              x              −              sin              ⁡              x                                +                                    tan              ⁡              (              sin              ⁡              x              )              (              1              −              cos              ⁡              (              sin              ⁡              x              )              )                                      tan              ⁡              x              −              sin              ⁡              x                                )                    Then, by mean value theorem, there is   c  ∈  (  −      π    2    ,      π    2    ) such that            tan      ⁡      (      tan      ⁡      x      )      −      tan      ⁡      (      sin      ⁡      x      )              tan      ⁡      x      −      sin      ⁡      x        =      sec    2    ⁡  cand between   sin  ⁡  x and   tan  ⁡  x. Then       lim          x      →      0                  tan      ⁡      (      tan      ⁡      x      )      −      tan      ⁡      (      sin      ⁡      x      )              tan      ⁡      x      −      sin      ⁡      x        =  1. Next, we will show that       lim          x      →      0                  tan      ⁡      (      sin      ⁡      x      )      (      1      −      cos      ⁡      (      sin      ⁡      x      )      )              tan      ⁡      x      −      sin      ⁡      x        =  1                              lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            (            1            −            cos            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            )                                tan            ⁡            x            −            sin            ⁡            x                                              =                  lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            (            1            −            cos            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            )            cos            ⁡            x                                sin            ⁡            x            (            1            −            cos            ⁡            x            )                                                            =                  lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                sin            ⁡            x                          ⋅                              1            −            cos            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                              sin              2                        ⁡            x                          ⋅                                            sin              2                        ⁡            x                                1            −            cos            ⁡            x                          ⋅        cos        ⁡        x                                          =                  lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                sin            ⁡            x                                    lim                      x            →            0                                                1            −            cos            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                              sin              2                        ⁡            x                                    lim                      x            →            0                          (        1        +        cos        ⁡        x        )                  lim                      x            →            0                          cos        ⁡        x                                          =        1        ⋅                  1          2                ⋅        2        ⋅        1                                          =        1.            Therefore,                              lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            tan            ⁡            x            )            −            sin            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                tan            ⁡            x            −            sin            ⁡            x                                              =                  lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            tan            ⁡            x            )            −            tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )                                tan            ⁡            x            −            sin            ⁡            x                          +                  lim                      x            →            0                                                tan            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            (            1            −            cos            ⁡            (            sin            ⁡            x            )            )                                tan            ⁡            x            −            sin            ⁡            x                                                            =        1        +        1                                          =        2

Evaluate <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim <mrow class="MJX-TeXAtom-

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Differential Calculus