This property is true: ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x

Question

This property is true:      ∫          a              b        f  (  x  )      d    x  =  −      ∫          b              a        f  (  x  )      d    x

kuncwadi17 · Accepted Answer

∫                      −            ∞                                ∞                          f                            :=                                      lim                      a            →            −            ∞                                    ∫                      a                                0                          f        +                  lim                      b            →            ∞                                    ∫                      0                                b                          f                            :=                                      lim                      a            →            −            ∞                                    (          −                      ∫                          0                                      a                                f          )                +                  lim                      b            →            ∞                                    (          −                      ∫                          b                                      0                                f          )                                    =                            −                  (                      lim                          b              →              ∞                                            ∫                          b                                      0                                f          +                      lim                          a              →              −              ∞                                            ∫                          0                                      a                                f          )                                    :=                            −                  ∫                      ∞                                −            ∞                          f        .            The convention      ∫          a              b        f  :=  −      ∫          b              a        f  ,which this question is premised on, ensures that for each   p  ,  q  ,  r  ∈      R    ,      ∫          p              r        f  =      ∫          p              q        f  +      ∫          q              r        f  .Alternatively, as suggested by GEdgar&#039;s above comment, we can simply adopt as convention      ∫          ∞              −      ∞        f  :=  −      ∫          −      ∞              ∞        f  .

This property is true: <msubsup> ∫ <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">

Answered question

Answer & Explanation

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