Integrate ∫ 0 ∞ sin 2 ⁡ x cosh ⁡ x + cos ⁡ x d x x

Question

Integrate       ∫    0          ∞                          sin        2            ⁡      x              cosh      ⁡      x            +            cos      ⁡      x                  d      x        x

enfeinadag0 · Accepted Answer

I&#039;m not sure how you showed the two integrals are equivalent, but the following is an evaluation of      ∫          0              ∞            e          −      x        cos  ⁡  (  x  )  tanh  ⁡  (  x  )                      d            x        x    .For   ℜ  (  s  )  &amp;gt;  0, we have                              ∫                      0                                ∞                          tanh        ⁡        (        t        )                  e                      −            s            t                                            d                t                            =                  ∫                      0                                ∞                                                1            −                          e                              −                2                t                                                          1            +                          e                              −                2                t                                                                      e                      −            s            t                                            d                t                                          =                  ∫                      0                                ∞                          (        1        −                  e                      −            2            t                          )                  e                      −            s            t                                    ∑                      n            =            0                                ∞                          (        −        1                  )                      n                                    e                      −            2            t            n                                            d                t                                          =                  ∑                      n            =            0                                ∞                          (        −        1                  )                      n                                    ∫                      0                                ∞                                    (                      e                          −              (              2              n              +              s              )              t                                −                      e                          −              (              2              n              +              s              +              2              )              t                                )                                  d                t                                          =                  ∑                      n            =            0                                ∞                                                (            −            1                          )                              n                                                          2            n            +            s                          −                  ∑                      n            =            0                                ∞                                                (            −            1                          )                              n                                                          2            n            +            s            +            2                                                            =                  1          2                          (                      ∑                          n              =              0                                      ∞                                                          (              −              1                              )                                  n                                                                    n              +                              s                2                                              −                      ∑                          n              =              0                                      ∞                                                          (              −              1                              )                                  n                                                                    n              +                              s                2                            +              1                                )                                                            =                      (            1            )                                    1          4                          (          ψ                      (                          s              4                        +                          1              2                        )                    −          ψ                      (                          s              4                        )                    −          ψ                      (                          s              4                        +            1            )                    +          ψ                      (                          s              4                        +                          1              2                        )                    )                                                            =                      (            2            )                                    1          2                          (          ψ                      (                          s              4                        +                          1              2                        )                    −          ψ                      (                          s              4                        )                    −                      2            s                    )                .            Therefore,                               ∫                      0                                ∞                                    e                      −            x                          cos        ⁡        (        x        )        tanh        ⁡        (        x        )                                                    d                        x                    x                                    =        ℜ                  ∫                      0                                ∞                                    e                      −            (            1            +            i            )            x                                                tanh            ⁡            (            x            )                    x                                  d                x                                          =        ℜ                  ∫                      0                                ∞                                    e                      −            (            1            +            i            )            x                          tanh        ⁡        (        x        )                  ∫                      0                                ∞                                    e                      −            x            t                                            d                t                          d                x                                          =        ℜ                  ∫                      0                                ∞                                    ∫                      0                                ∞                          tanh        ⁡        (        x        )                  e                      −            (            1            +            i            +            t            )            x                                            d                x                          d                t                                          =        ℜ                  ∫                      0                                ∞                                    1          2                          (          ψ                      (                                          1                +                i                +                t                            4                        +                          1              2                        )                    −          ψ                      (                                          1                +                i                +                t                            4                        )                    −                      2                          1              +              i              +              t                                )                                  d                t                                          =        ℜ                  (          2          ln          ⁡          Γ                      (                                          3                +                i                +                t                            4                        )                    −          2          ln          ⁡          Γ                      (                                          1                +                i                +                t                            4                        )                    −          ln          ⁡          (          1          +          i          +          t          )          )                                                    |                                            0                                ∞                                                                      =                      (            3            )                          ℜ                  (          −          2          ln          ⁡          (          2          )          −          2          ln          ⁡          Γ                      (                                          3                +                i                            4                        )                    +          2          ln          ⁡          Γ                      (                                          1                +                i                            4                        )                    +          ln          ⁡          (          1          +          i          )          )                                                  =        −                              3            ln            ⁡            (            2            )                    2                +        2        ℜ                  (          ln          ⁡          Γ                      (                                          1                +                i                            4                        )                    −          ln          ⁡          Γ                      (                                          3                +                i                            4                        )                    )                .

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