Solve the integral ∫ 1 + x + 1 + x 2 x + 1 + x d x

Question

Solve the integral  ∫            1      +      x      +              1        +                  x          2                                    x        +        1            +              x                d  x

Plutbantonavv · Accepted Answer

One can be brought to the form   ∫      u    a    (  1  −  u      )    b        d    u which is discussed in this answer of mine:                    J                            =                    ∫                  x                          1          +                      x            2                                    d                x                                            =                                      u              =                              x                2                                                              1          2                ∫                  u                      −            1                          /                        4                          (        1        +        u                  )                      1                          /                        2                                    d                u                                          =                              2          3                          u                      3                          /                        4                          ⋅                                      2                          F          1                          (          −                      1            2                    ,                      3            4                    ;                      7            4                    ;          −          u          )                +        const.        =                  2          3                          x                      3                          /                        2                          ⋅                                      2                          F          1                          (          −                      1            2                    ,                      3            4                    ;                      7            4                    ;          −                      x            2                    )                +        const.            The other integral is an elliptic integral:                    I                            =                              4          15                          2          α                          (          α          F          ⁡                      (            arcsin            ⁡                          (                                                x                  −                                      1                    α                                                                    x                  +                  α                                            )                        ,            −                          α              2                        )                    −                      1            α                    E          ⁡                      (            arcsin            ⁡                          (                                                x                  −                                      1                    α                                                                    x                  +                  α                                            )                        ,            −                          α              2                        )                    )                                                +                  2          15                          1          +          x                          1          +                      x            2                                    (          3          x          +          1          +                      4                          x              +              α                                )                +        const.            where   α  =      2    +  1 and  E  ⁡      (    ϕ    ,    m    )    =      ∫    0    ϕ        1    −    m          sin      2        ⁡    φ          d    φ  ,    F  ⁡      (    ϕ    ,    m    )    =      ∫    0    ϕ                      d            φ              1      −      m              sin        2            ⁡      φ      It can be evaluated using the Jacobi elliptic functions substitution:  sn  ⁡      (    t    ,    −          α      2        )    =            x      −              1        α                    x      +      α      as described in Byrd and Friedman.

Kymani Hatfield · Accepted Answer

For any real number of x,When       |    x      |    ≤  1  J  =  ∫      x          1      2        (  1  +      x    2        )          1      2        =  ∫      ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !                  x                      2            n            +                          1              2                                                            4          n                (        n        !                  )          2                (        1        −        2        n        )              d  x  =      ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !                  x                      2            n            +                          3              2                                                            4          n                (        n        !                  )          2                (        1        −        2        n        )                  (          2          n          +                                    3              2                                )                      +  C  =      ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !                  x                      2            n            +                          3              2                                                            4          n                (        n        !                  )          2                (        1        −        2        n        )                  (          2          n          +                                    3              2                                )                      +  C  =      ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !                  x                      2            n            +                          3              2                                                            2                      2            n            −            1                          (        n        !                  )          2                (        1        −        2        n        )        (        4        n        +        3        )              +  C  I  =  ∫  (  1  +  x      )          1      2        (  1  +      x    2        )          1      2        =  ∫  (  x  +  1      )          1      2            ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !                  x                      2            n                                                4          n                (        n        !                  )          2                (        1        −        2        n        )              d  x  =  ∫  (  x  +  1      )          1      2            ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !        (        x        +        1        −        1                  )                      2            n                                                4          n                (        n        !                  )          2                (        1        −        2        n        )              d  x  =  ∫      ∑          n      =      0        ∞        ∑          k      =      0              2      n                          (        −        1                  )                      n            −            k                          (        (        2        n        )        !                  )          2                (        x        +        1                  )                      k            +                          1              2                                                            4          n                (        n        !                  )          2                k        !        (        2        n        −        k        )        !        (        1        −        2        n        )              d  x  =      ∑          n      =      0        ∞        ∑          k      =      0              2      n                          (        −        1                  )                      n            −            k                          (        (        2        n        )        !                  )          2                (        x        +        1                  )                      k            +                          3              2                                                            4          n                (        n        !                  )          2                k        !        (        2        n        −        k        )        !        (        1        −        2        n        )                  (          k          +                      3            2                    )                      +  C  =      ∑          n      =      0        ∞        ∑          k      =      0              2      n                          (        −        1                  )                      n            −            k                          (        (        2        n        )        !                  )          2                (        x        +        1                  )                      k            +                          3              2                                                            2                      2            n            −            1                          (        n        !                  )          2                k        !        (        2        n        −        k        )        !        (        1        −        2        n        )        (        2        k        +        3        )              +  CWhen       |    x      |    ≥  1  J  =  ∫      x          1      2        (  1  +      x    2        )          1      2        =  ∫      x          1      2                  (              x        2                    (                              1                          x              2                                      +        1        )            )              1      2        =  ∫      x          3      2                  (      1      +                        1                      x            2                              )              1      2        =  ∫      x          3      2            ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !                  x                      −            2            n                                                4          n                (        n        !                  )          2                (        1        −        2        n        )              d  x  =  ∫      ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !                  x                                    3              2                        −            2            n                                                4          n                (        n        !                  )          2                (        1        −        2        n        )              d  x  =      ∑          n      =      0        ∞                      (        −        1                  )          n                (        2        n        )        !                              2                      2            n            −            1                          (        n        !                  )          2                (        2        n        −        1        )        (        4        n        −        5        )                  x                      2            n            −                          5              2                                            +  C

Solve the integral int(1+x+sqrt(1+x^2))(sqrt(x+1)+sqrt(x))dx

Answered question

Answer & Explanation

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