Show that : ∫ 0 ∞ e − x x 2 ( 1 1 − e − x − 1 x − 1 2 ) 2 d x = 7 36 − ln ⁡ A + ζ ( 3 ) 2 π 2

Question

Show that :      ∫    0    ∞              e              −        x                    x      2                  (              1                  1          −                      e                          −              x                                          −              1        x            −              1        2            )        2      d  x  =      7    36    −  ln  ⁡  A  +            ζ              (        3        )                    2              π        2

Jovanni Salinas · Accepted Answer

Define  f  (  s  )  =      ∫    0          ∞            x          s      −      1                  e              −        x                    x      2                  (              1                  1          −                      e                          −              x                                          −              1        x            −              1        2            )        2    d  x  .This defines an analytic function on the domain   Re  ⁡  (  s  )  &amp;gt;  0 and the problem is to evaluate f(1).We have  f  (  s  )  =      ∫    0          ∞            x          s      −      3            e          −      x            (          1              (        1        −                  e                      −            x                                    )          2                      +          1              x        2              +          1      4        −          2              x        (        1        −                  e                      −            x                          )              −          1              1        −                  e                      −            x                                +          1      x        )    d  x       =      ∫    0          ∞            (                            x                      s            −            3                                    e                      x                                      (                  e          x                −        1                  )          2                      +          x              s        −        5                    e              −        x              +                            x                      s            −            3                                    e                      −            x                              4        −                  2                  x                      s            −            4                                                e          x                −        1              −                  x                  s          −          3                                      e          x                −        1              +          x              s        −        4                    e              −        x              )    d  x  .For   Re  ⁡  (  s  )  &amp;gt;  4, integrating by parts on the first term gives  f  (  s  )  =      ∫    0          ∞            (                  (        s        −        3        )                  x                      s            −            4                                                e          x                −        1              +          x              s        −        5                    e              −        x              +                            x                      s            −            3                                    e                      −            x                              4        −                  2                  x                      s            −            4                                                e          x                −        1              −                  x                  s          −          3                                      e          x                −        1              +          x              s        −        4                    e              −        x              )    d  x  .  =      ∫    0          ∞            (                  (        s        −        5        )                  x                      s            −            4                                                e          x                −        1              +          x              s        −        5                    e              −        x              +                            x                      s            −            3                                    e                      −            x                              4        −                  x                  s          −          3                                      e          x                −        1              +          x              s        −        4                    e              −        x              )    d  x  .Again assuming Re(s)&amp;gt;4, this gives us  f  (  s  )  =  (  s  −  5  )  Γ  (  s  −  3  )  ζ  (  s  −  3  )  +  Γ  (  s  −  4  )  +      1    4    Γ  (  s  −  2  )  −  Γ  (  s  −  2  )  ζ  (  s  −  2  )  +  Γ  (  s  −  3  )  ,We may write  f  (  s  )  =            (      s      −      4      )      (      s      −      5      )      ζ      (      s      −      3      )      +      1      +              1        4            (      s      −      4      )      (      s      −      3      )      −      (      s      −      4      )      (      s      −      3      )      ζ      (      s      −      2      )      +      s      −      4              (      s      −      4      )      (      s      −      3      )      (      s      −      2      )      (      s      −      1      )        Γ  (  s  )and so  f  (  1  )  =      lim          s      →      1            (                  (        s        −        5        )        ζ        (        s        −        3        )                    (        s        −        3        )        (        s        −        2        )        (        s        −        1        )              −                  ζ        (        s        −        2        )        +                  1          12                            (        s        −        2        )        (        s        −        1        )              +                            1          3                (        s        −        4        )        (        s        −        3        )        +        s        −        3                    (        s        −        4        )        (        s        −        3        )        (        s        −        2        )        (        s        −        1        )              )    =      lim          s      →      1            (                  (        s        −        5        )        ζ        (        s        −        3        )                    (        s        −        3        )        (        s        −        2        )        (        s        −        1        )              −                  ζ        (        s        −        2        )        +                  1          12                            (        s        −        2        )        (        s        −        1        )              +          1              3        (        s        −        4        )        (        s        −        2        )              )    =  −  2      ζ    ′    (  −  2  )  +      ζ    ′    (  −  1  )  +      1    9    =            ζ      (      3      )              2              π        2              +      1    12    −  ln  ⁡  A  +      1    9    =      7    36    −  ln  ⁡  A  +            ζ      (      3      )              2              π        2              .

Show that : int_0^infty e^(-x)/(x^2)(1/(1-e^(-x))-1/x-1/2)^2dx=7/36-ln A+(zeta(3))(2pi^2)

Answered question

Answer & Explanation

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