The Cauchy's Beta Integral is given by ∫ − ∞ ∞ d t ( 1 + i t ) x ( 1 − i t ) y = π 2 2 − x − y Γ ( x + y − 1 ) Γ ( x ) Γ ( y )

Question

The Cauchy&#039;s Beta Integral is given by      ∫          −      ∞        ∞              d      t              (      1      +      i      t              )        x            (      1      −      i      t              )        y              =            π              2                  2          −          x          −          y                    Γ      (      x      +      y      −      1      )              Γ      (      x      )      Γ      (      y      )

barene55d · Accepted Answer

Answer:                    ∫                  −          ∞                          ∞                                                                d                        t                                                              (                                1                +                                  i                                t                                )                                            x                                                                    (                                1                −                                  i                                t                                )                                            y                                                        =              2                  2          −          x          −          y                          π                                          Γ                          (                            x              +              y              −              1                            )                                            Γ                          (                            x                            )                        Γ                          (                            y                            )                                          :                               ?                                                                    ∫                          −              ∞                                      ∞                                                                                            d                                t                                                                                  (                                        1                    +                                          i                                        t                                        )                                                        x                                                                                        (                                        1                    −                                          i                                        t                                        )                                                        y                                                                                      =        −                  i                          ∫                      −            ∞                          i                                            ∞                          i                                                                                          d                            t                                                                        (                                    1                  +                  t                                    )                                                  x                                                                              (                                    1                  −                  t                                    )                                                  y                                                                                                      =                  i                          ∫                      −            ∞                                −            1                                                                              d                            t                                                                        |                                    1                  +                  t                                    |                                                  x                                                                                            e                                                                      i                                    π                  x                                                                                            (                                    1                  −                  t                                    )                                                  y                                                                    +                  i                          ∫                      −            1                                −            ∞                                                                              d                            t                                                                        |                                    1                  +                  t                                    |                                                  x                                                                                            e                                                  −                                      i                                    π                  x                                                                                            (                                    1                  −                  t                                    )                                                  y                                                                                                      =                  i                                              e                                −                          i                        π            x                                            ∫                      1                                ∞                                                                              d                            t                                                                        |                                    1                  −                  t                                    |                                                  x                                                                              (                                    1                  +                  t                                    )                                                  y                                                                    −                  i                                              e                                              i                        π            x                                            ∫                      1                                ∞                                                                              d                            t                                                                        |                                    1                  −                  t                                    |                                                  x                                                                              (                                    1                  +                  t                                    )                                                  y                                                                                                      =        −                  i                          (                                                        e                                                      i                            π              x                                          −                                              e                                      −                              i                            π              x                                                    )                          ∫                      1                                ∞                                                                              (                                t                −                1                                )                                            −                x                                                                    (                                1                +                t                                )                                            y                                                                      d                t        =                  2                      1            −            y                          sin        ⁡                  (                    π          x                    )                          ∫                      0                                ∞                                                              t                              −                x                                                                    (                                1                +                t                                  /                                2                                )                                            y                                                                      d                t                                          =                              2                          2              −              x              −              y                                sin          ⁡                      (                        π            x                        )                                ∫                          0                                      ∞                                                                          t                                  −                  x                                                                              (                                    1                  +                  t                                    )                                                  y                                                                                    d                    t                    With             ξ      ≡                        1                      1            +            t                                    ⟹            t      =                        1          ξ                    −      1                                                      ∫                          −              ∞                                      ∞                                                                                            d                                t                                                                                  (                                        1                    +                                          i                                        t                                        )                                                        x                                                                                        (                                        1                    −                                          i                                        t                                        )                                                        y                                                                                      =                  2                      2            −            x            −            y                          sin        ⁡                  (                    π          x                    )                          ∫                      1                                0                                                (                                                      1                ξ                                      −            1                        )                                −            x                                    ξ                      y                                            (                    −                                                                                d                                ξ                                            ξ                                  2                                                                        )                                                  =                  2                      2            −            x            −            y                          sin        ⁡                  (                    π          x                    )                          ∫                      1                                0                                    ξ                      x            +            y            −            2                                                (                        1            −            ξ                        )                                −            x                                            d                ξ        =                  2                      2            −            x            −            y                          sin        ⁡                  (                    π          x                    )                                                                                               B                                                  (                                    x                  +                  y                  −                  1                  ,                  −                  x                  +                  1                                    )                                            ⏞                                                                                            Beta Function                                                                                                      =                  2                      2            −            x            −            y                          sin        ⁡                  (                    π          x                    )                                                                                                                   Γ                                          (                                            x                      +                      y                      −                      1                                            )                                        Γ                                          (                                            −                      x                      +                      1                                            )                                                                            Γ                                          (                                            y                                            )                                                                                  ⏞                                                                                            Γ                  ′                                s                :                                                   Gamma Functions

Proof of Cauchy's Beta Integral int_(-infty)^(infty) (dt)/((1+it)^x(1-it)^y)

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