Prove this inequality with trigonometry 9 cos 2 ⁡ x − 10 cos ⁡ x sin ⁡ y − 8 cos ⁡ y sin ⁡ x + 17 ≥ 1

Question

Prove this inequality with trigonometry   9      cos    2    ⁡      x    −  10  cos  ⁡      x    sin  ⁡      y    −  8  cos  ⁡      y    sin  ⁡      x    +  17  ≥  1

victorollaa5 · Accepted Answer

9                  cos          2                ⁡        x        −        10        cos        ⁡        x        sin        ⁡        y        −        8        cos        ⁡        y        sin        ⁡        x        +        17                            =        9                  cos          2                ⁡        x        −        2        cos        ⁡        x        sin        ⁡        y        −        8        (        cos        ⁡        x        sin        ⁡        y        +        cos        ⁡        y        sin        ⁡        x        )        +        17                                          =        9                  cos          2                ⁡        x        −        2        cos        ⁡        x        sin        ⁡        y        −        8        sin        ⁡        (        x        +        y        )        +        17                                          ≥        −        2        −        8        +        17                                          ≥        7                                          ≥        1

Emanuel Keith · Accepted Answer

Let   u  =  9      cos    2    ⁡  x  −  10  cos  ⁡  x  sin  ⁡  y  −  8  cos  ⁡  y  sin  ⁡  xAs   −            a      2        +          b      2        ≤  −  (  a  cos  ⁡  v  +  b  sin  ⁡  v  )  ≤            a      2        +          b      2          ⟹    −      (    10    cos    ⁡    x          )      2        +    (    8    sin    ⁡    x          )      2        ≤  −  (  10  cos  ⁡  x  sin  ⁡  y  +  8  cos  ⁡  y  sin  ⁡  x  )  ≤      (    10    cos    ⁡    x          )      2        +    (    8    sin    ⁡    x          )      2        u  ≥  9      cos    2    ⁡  x  −      (    10    cos    ⁡    x          )      2        +    (    8    sin    ⁡    x          )      2        =  (      9          cos      2        ⁡    x    +    16    −  1      )    2    −  17Now   3  ≤      16    −  1  ≤      9          cos      2        ⁡    x    +    16    −  1  ≤      9    +    16    −  1  =  4    ⟹        3    2    ≤  (      9          cos      2        ⁡    x    +    16    −  1      )    2    ≤      4    2

Prove this inequality with trigonometry 9 cos 2 </msup> ⁡

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Trigonometry